El teorema garantiza que en cualquier muestra de datos o distribución de probabilidad, casi todos los valores están en el medio. El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no tienen forma de “curva de campana” y acota la cantidad de datos que están o no “en medio”. Para cualquier k número mayor que 1, por lo menos 1-1 / k 2 de los datos caen dentro de k desviaciones estándar de la media. Por ejemplo, si k = 2 este número es 1 1 1 - 1 -- = .75 = .75 2 2 2 2
Esto nos dice que al menos el 75% de los datos se encuentra dentro del 75% de la media. En el ejemplo anterior, podemos decir que al menos el 75% de los comensales pasaron entre
49.2 - 2(17) = 15.2 49,2 a 2 (17) = 15.2
y
49.2 + 2(17) = 83.2 49,2 + 2 (17) = 83,2
de dólares.
*Estadística: Teorema de Chebyshev (Describir conceptual y numéricamente con un caso práctico) Disponible en http://www.ltcconline.net/greenl/courses/201/descstat/mean.htm Consulta: 13/Febrero/2010
El terorema lo podemos describir como una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida
El siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabi8lidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones
Teorema de Chebyshev: La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1 / κ2. Es decir
P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1–κ2.
ejemplos: 1.- Una variable aleatoria X tiene una media µ = 8 una varianza σ 2 = 9, y distribución de probabilidad desconocida. Encuentre
a) P (−4 < X < 20).
b) P (| X - 8 | ≥ 6).
Solución
a) P (−4 < X < 20) = P[ 8 – (4) (3) < X < 8 + (4) (3) ] ≥ 15/14
b) P (| X - 8 | ≥ 6) = 1 – P (| X - 8 | < 6) = 1 – P (- 6 < X - 8 < 6)
= 1 – P [8 – (2) (3) < X < 8 + (2) (3)] 8 < 6) ≤ ¼.’‘’
Teorema de Chebyshev: Para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o población), la proporción mínima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándares desde la media es al menos 1 - 1/k2, donde k es una constante mayor que 1. o Regla empírica: Para una distribución de frecuencias simétrica de campana, aproximadamente 68% de las observaciones estará a más y menos una desviación estándar desde la media, aproximadamente 95% de tales observaciones se encontrará a más y menos dos desviaciones estándares de la misma; y prácticamente todas las observaciones (99,7%)se hallarán a más y menos tres desviaciones con respecto a la media.
Curva simétrica de campana que muestra las relaciones entre la desviación estándar y la media -3s -2s -1s X 1s 2s 3s 70 80 90 100 110 120 130 68% 95% 99,7%
El teorema de Chebyshev es un acercamiento al análisis e interpretación de datos obtenidos por población o por muestra y utilizán desviación estándar y media aritmética.
TEOREMA: Para cualquier conjunto de datos, por lo menos 1 - (1/k2) de los datos cabe dentro de K deviaciones estándar de la media aritmética. Siento K mayor que uno. Este teorema es válido para todas las distribuciones de datos. Si se quiere encontrar el intervalo en que se halla determinada proporción de los datos, utilizamos la siguiente fórmula:
('x-Ks,'x+Ks)
En particual, si K=2, el intervalo 'x 2s, 'x+2s contiene, como mínimo, el 75% de los datos. Si K=3, el intervalo 'x-3s, 'x+3s contiene, por lo menos, el 89€ del total de los datos.
EJEMPLO
a)Con base en el teorema de Chebyshev, se quiere encontrar el intervalo en el que se deberían hallar al menos el 75% de los estudiantes que fueron entrevistados para identificar su nivel de dominio de inglés.
si k=2, se tiene: 1-(1/K2)=(1/2^2)= 1-(1/4)=3/4=75% y el intervalo será ['x-2s,'x+2s], dado que:
'x = 35.4 y s= 29.8
Al sustituir los valores: [35.4-(2(29.8)), 35.4 + (2(29.8))]
[24.2,95] es el intervalo entre dos desviaciones estándar a la izquierda y dos desviaciones estándar a la derecha de la media aritmética, y contiene, al menos, el 75% de los datos.
b) Ahora utilizaremos el teorema de Chebyshev para encontrar el intervalo en el que se halla al menos 89% de los estudiantes que fueron entrevistados para identificar su nivel de inglés.
si K =3, tenemos: 1-(1/K2)=(1/3^2)= 1-(1/9)=8/9=89% ['x-3s, 'x+3s] Al sustituir los valores se tiene: [35.4-(3(29.8)), 35.4+(3(29.8))]
[-54,124.8] es el intervalo que contiene, al menos, 89€ de los datos.
RUIZ, Elena; Ruiz, Elvia. Probabilidad y Estádistica.Primera edición. México. Mc Graw Hill 2006. 133 p.
Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar u obtener un valor alejado de la media.
EJEMPLO:
1.- Una variable aleatoria X tiene una media µ = 8 una varianza σ 2 = 9, y distribución de probabilidad desconocida. Encuentre
a) P (−4 < X < 20).
b) P (| X - 8 | ≥ 6).
Solución
a) P (−4 < X < 20) = P[ 8 – (4) (3) < X < 8 + (4) (3) ] ≥ 15/14
b) P (| X - 8 | ≥ 6) = 1 – P (| X - 8 | < 6) = 1 – P (- 6 < X - 8 < 6)
= 1 – P [8 – (2) (3) < X < 8 + (2) (3)] 8 < 6) ≤ ¼.’‘’
Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar u obtener un valor alejado de la media.
Se seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.
Solución:
d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen}
(1,2)
(1,3) (2,3)
(1,4) (2,4) (3,4)
d = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)
(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)
a. E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par
La desigualdad de Chebyshov dice que la probabilidad de que una variable aleatoria esté distanciada de su media en más de a veces la desviación típica es menor o igual que 1/a2. Si es la media (o la esperanza matemática) y σ es la desviación típica, entonces podemos redefinir la relación como:
para todo número real positivo a. La desigualdad de Chebyshov se emplea para demostrar que la ley débil de los números grandes y el teorema de Bertrand-Chebyshov (1845|1850) que establece que la cantidad de números primos menores que n es p(n) = n / log(n) + o(n).
Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ.
Para cualquier conjunto de datos (de una población o una muestra) y cualquier constante k mayor que 1, el porcentaje de los datos que debe caer dentro de k-veces la desviación típica de cualquier lado de la media es de por lo menos:
El teorema de Chebyshev se aplica a cualquier tipo de datos, pero sólo nos indica “por lo menos que porcentaje” debe caer entre ciertos límites. Pero para casi todos los datos, el porcentaje real de datos que cae entre esos limites es bastante mayor que el que especifica el teorema de Chebyshev.
Para las distribuciones que tienen forma de campana puede hacerse una aseveración más fuerte:
(1) alrededor del 68% de los valores caerán dentro de una desviación típica de la media esto es: entre ;
(2) aproximadamente el 95% de los valores caerán dentro de dos desviaciones típicas de la media, esto es : ;
(3) aproximadamente el 99,7% de los valores caerán dentro de dos desviaciones típicas de la media, esto es : ;
Basándonos en el teorema de Chebyshev con k=2 ¿Qué podemos decir del tamaño de nuestro error, si vamos a usar la media de una muestra aleatoria de tamaño n=64 para estimar la media de una población infinita con =20?
Sustituyendo n=64 y =20 en la fórmula apropiada para el error estándar de la media, obtenemos que : y por el teorema de Chebyshev podemos afirmar que como mínimo 1 - 1/22 = 0,75 que el error será menor que k· x = 2·2,5= 5.
Es decir que tenemos una garantía de que en el 75% de los casos la media de la población estará entre la media calculada ±5 .
Pero esto no es suficiente, cuando la probabilidad real de este caso puede estar entre 0,98 y el 0,999
El teorema garantiza que en cualquier muestra de datos o distribución de probabilidad, casi todos los valores están en el medio. El teorema es aplicable incluso en distribuciones que no tienen forma de “curva de campana” y acota la cantidad de datos que están o no “en medio”. Para cualquier k número mayor que 1, por lo menos 1-1 / k 2 de los datos caen dentro de k desviaciones estándar de la media.
ResponderEliminarPor ejemplo, si k = 2 este número es
1 1
1 - 1 -- = .75 = .75
2 2 2 2
Esto nos dice que al menos el 75% de los datos se encuentra dentro del 75% de la media. En el ejemplo anterior, podemos decir que al menos el 75% de los comensales pasaron entre
49.2 - 2(17) = 15.2 49,2 a 2 (17) = 15.2
y
49.2 + 2(17) = 83.2 49,2 + 2 (17) = 83,2
de dólares.
*Estadística: Teorema de Chebyshev (Describir conceptual y numéricamente con un caso práctico)
Disponible en http://www.ltcconline.net/greenl/courses/201/descstat/mean.htm
Consulta: 13/Febrero/2010
El terorema lo podemos describir como una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida
ResponderEliminarEl siguiente teorema, debido a Chebyshev da una estimación conservadora de la probabi8lidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de κ desviaciones
Teorema de Chebyshev: La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1 / κ2. Es decir
P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1–κ2.
ejemplos: 1.- Una variable aleatoria X tiene una media µ = 8 una varianza σ 2 = 9, y distribución de probabilidad desconocida. Encuentre
a) P (−4 < X < 20).
b) P (| X - 8 | ≥ 6).
Solución
a) P (−4 < X < 20) = P[ 8 – (4) (3) < X < 8 + (4) (3) ] ≥ 15/14
b) P (| X - 8 | ≥ 6) = 1 – P (| X - 8 | < 6) = 1 – P (- 6 < X - 8 < 6)
= 1 – P [8 – (2) (3) < X < 8 + (2) (3)] 8 < 6) ≤ ¼.’‘’
BIBLIOGRAFIAS: http://www.mitecnologico.com/Main/TeoremaDeChebyshev
http://www.mitecnologico.com/Main/ResolverProblemasQueApliquenElTeorema
Teorema de Chebyshev: Para un conjunto cualquiera de observaciones (muestra o población), la proporción mínima de los valores que se encuentran dentro de k desviaciones estándares desde la media es al menos 1 - 1/k2, donde k es una constante mayor que 1.
ResponderEliminaro Regla empírica: Para una distribución de frecuencias simétrica de campana, aproximadamente 68% de las observaciones estará a más y menos una desviación estándar desde la media, aproximadamente 95% de tales observaciones se encontrará a más y menos dos desviaciones estándares de la misma; y prácticamente todas las observaciones (99,7%)se hallarán a más y menos tres desviaciones con respecto a la media.
Curva simétrica de campana que muestra las relaciones entre la desviación estándar y la media
-3s -2s -1s X 1s 2s 3s
70 80 90 100 110 120 130
68%
95%
99,7%
AJPS
El teorema de Chebyshev es un acercamiento al análisis e interpretación de datos obtenidos por población o por muestra y utilizán desviación estándar y media aritmética.
ResponderEliminarTEOREMA:
Para cualquier conjunto de datos, por lo menos
1 - (1/k2) de los datos cabe dentro de K deviaciones estándar de la media aritmética. Siento K mayor que uno.
Este teorema es válido para todas las distribuciones de datos.
Si se quiere encontrar el intervalo en que se halla determinada proporción de los datos, utilizamos la siguiente fórmula:
('x-Ks,'x+Ks)
En particual, si K=2, el intervalo 'x 2s, 'x+2s contiene, como mínimo, el 75% de los datos. Si K=3, el intervalo 'x-3s, 'x+3s contiene, por lo menos, el 89€ del total de los datos.
EJEMPLO
a)Con base en el teorema de Chebyshev, se quiere encontrar el intervalo en el que se deberían hallar al menos el 75% de los estudiantes que fueron entrevistados para identificar su nivel de dominio de inglés.
si k=2, se tiene:
1-(1/K2)=(1/2^2)= 1-(1/4)=3/4=75%
y el intervalo será ['x-2s,'x+2s], dado que:
'x = 35.4 y s= 29.8
Al sustituir los valores:
[35.4-(2(29.8)), 35.4 + (2(29.8))]
[24.2,95] es el intervalo entre dos desviaciones estándar a la izquierda y dos desviaciones estándar a la derecha de la media aritmética, y contiene, al menos, el 75% de los datos.
b) Ahora utilizaremos el teorema de Chebyshev para encontrar el intervalo en el que se halla al menos 89% de los estudiantes que fueron entrevistados para identificar su nivel de inglés.
si K =3, tenemos:
1-(1/K2)=(1/3^2)= 1-(1/9)=8/9=89%
['x-3s, 'x+3s]
Al sustituir los valores se tiene:
[35.4-(3(29.8)), 35.4+(3(29.8))]
[-54,124.8] es el intervalo que contiene, al menos, 89€ de los datos.
RUIZ, Elena; Ruiz, Elvia. Probabilidad y Estádistica.Primera edición. México. Mc Graw Hill 2006. 133 p.
Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar u obtener un valor alejado de la media.
ResponderEliminarEJEMPLO:
1.- Una variable aleatoria X tiene una media µ = 8 una varianza σ 2 = 9, y distribución de probabilidad desconocida. Encuentre
a) P (−4 < X < 20).
b) P (| X - 8 | ≥ 6).
Solución
a) P (−4 < X < 20) = P[ 8 – (4) (3) < X < 8 + (4) (3) ] ≥ 15/14
b) P (| X - 8 | ≥ 6) = 1 – P (| X - 8 | < 6) = 1 – P (- 6 < X - 8 < 6)
= 1 – P [8 – (2) (3) < X < 8 + (2) (3)] 8 < 6) ≤ ¼.’‘’
Bibliogrfía
http://webloguv.itesm.mx/groups/ga4009/weblog/2bab6/
Mientras mas pequeña sea la desviación típica es más probable. Obtener un valor cercano a la media, mientras mayor sea la desviación típica, es mas probable encontrar u obtener un valor a cercano a la media, mientras mayor sea la desviación, es mas probable encontrar u obtener un valor alejado de la media.
ResponderEliminarSe seleccionan al azar dos números de entre los números del 1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par, a. Determine la probabilidad de que ambos números sean pares, b. Determine la probabilidad de que ambos números sean impares.
Solución:
d = {9C2 = 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen}
(1,2)
(1,3) (2,3)
(1,4) (2,4) (3,4)
d = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6)
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7) (5,7) (6,7)
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8) (5,8) (6,8) (7,8)
(1,9) (2,9) (3,9) (4,9) (5,9) (6,9) (7,9) (8,9)
a. E = evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par
(1,3)
(2,4)
E = (1,5) (3,5)
(2,6) (4,6)
(1,3) (3,7) (5,7)
(2,8) (4,8) (6,8)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
E = {16 elementos}
A = evento de que ambos números sean pares
(2,4)
A = (2,6) (4,6)
(2,8) (4,8) (6,8)
A = {6 elementos}
(2,4)
AÇE = (2,6) (4,6)
(2,8) (4,8) (6,8)
½AÇE½ = 6 elementos, p (A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 6/16 = 0.375
b. E = evento de que la suma de los números seleccionados es par
(1,3)
(2,4)
E = (1,5) (3,5)
(2,6) (4,6)
(1,3) (3,7) (5,7)
(2,8) (4,8) (6,8)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
A = evento de que ambos números sean impares
(1,3)
A = (1,5) (3,5)
(1,7) (3,7) (5,7)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
A = {10 elementos},
(1,3)
AÇE = (1,5) (3,5)
(1,7) (3,7) (5,7)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
½AÇE½= 10 elementos; p(A½E)= ½AÇE½/ ½E½= 10/16 = 0.625
La desigualdad de Chebyshov dice que la probabilidad de que una variable aleatoria esté distanciada de su media en más de a veces la desviación típica es menor o igual que 1/a2. Si es la media (o la esperanza matemática) y σ es la desviación típica, entonces podemos redefinir la relación como:
ResponderEliminarpara todo número real positivo a. La desigualdad de Chebyshov se emplea para demostrar que la ley débil de los números grandes y el teorema de Bertrand-Chebyshov (1845|1850) que establece que la cantidad de números primos menores que n es p(n) = n / log(n) + o(n).
fuente: wiki
Si una variable aleatoria tiene una varianza o desviación estándar pequeña, esperaríamos que la mayoría de los valores se agrupan alrededor de la media. Por lo tanto, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de cierto intervalo alrededor de la media es mayor que para una variable aleatoria similar con una desviación estándar mayor si pensamos en la probabilidad en términos de una área, esperaríamos una distribución continua con un valor grande de σ que indique una variabilidad mayor y, por lo tanto, esperaríamos que el área este extendida. Sin embargo, una desviación estándar pequeña debería tener la mayor parte de su área cercana a µ.
ResponderEliminarEl Teorema de Chebyshev.
ResponderEliminarPara cualquier conjunto de datos (de una población o una muestra) y cualquier constante k mayor que 1, el porcentaje de los datos que debe caer dentro de k-veces la desviación típica de cualquier lado de la media es de por lo menos:
El teorema de Chebyshev se aplica a cualquier tipo de datos, pero sólo nos indica “por lo menos que porcentaje” debe caer entre ciertos límites. Pero para casi todos los datos, el porcentaje real de datos que cae entre esos limites es bastante mayor que el que especifica el teorema de Chebyshev.
Para las distribuciones que tienen forma de campana puede hacerse una aseveración más fuerte:
(1) alrededor del 68% de los valores caerán dentro de una desviación típica de la media esto es: entre
;
(2) aproximadamente el 95% de los valores caerán dentro de dos desviaciones típicas de la media, esto es :
;
(3) aproximadamente el 99,7% de los valores caerán dentro de dos desviaciones típicas de la media, esto es :
;
Basándonos en el teorema de Chebyshev con k=2 ¿Qué podemos decir del tamaño de nuestro error, si vamos a usar la media de una muestra aleatoria de tamaño n=64 para estimar la media de una población infinita con =20?
Sustituyendo n=64 y =20 en la fórmula apropiada para el error estándar de la media, obtenemos que :
y por el teorema de Chebyshev podemos afirmar que como mínimo 1 - 1/22 = 0,75 que el error será menor que k· x = 2·2,5= 5.
Es decir que tenemos una garantía de que en el 75% de los casos la media de la población estará entre la media calculada ±5 .
Pero esto no es suficiente, cuando la probabilidad real de este caso puede estar entre 0,98 y el 0,999
http://html.rincondelvago.com/muestreo_1.html